relèvement des homotopies

Par l’unicité du relèvement, deux tels relèvements coïncident sur l’intersection de leurs domaines de définition. Le théorème de relèvement des chemins et des homotopies permet d’étudier les premiers exemples non triviaux de groupe fondamentaux et de définir une action du groupe fondamental de la base sur la fibre du revêtement. Soit $p : Y \to X$ un revêtement, $f :K\times I\to X$ une application continue et $ F_0 : K \times \{0\} \to Y$ une application relevant $f_{|K \times \{0\}}$. Quitte à restreindre $N(z_0)$, on peut supposer$$F\left(N(z_0)\times\{t_{i-1}\}\right)\subset V_i.$$$$F_{N(z_0)\times[t_{i-1},t_{i}]}=p_i^{-1}\circ f$$où $p_i: V_i\to U_i$ est l’homéomorphisme induit par $p$. > Le théorème de relèvement des chemins et des homotopies est l’ingrédient principal de l’étude des liens entre La preuve de cette proposition est reportée jusqu’à la preuve d’un résultat plus général : le $$

Malheureusement, leur démonstration contient une légère erreur. Soit L'homotopie est source de nombreuses démonstrations. Cette étude est … En mathématiques, une homotopie est une déformation continue entre deux applications, notamment entre les chemins à extrémités fixées et en particulier les lacets.

$$L’application $\widetilde\gamma : t \mapsto e^{i\pi t}$ définit un chemin $I \to \mathbb C^*$ issu du point $y= 1$. Il en serait de même pour tout lacet faisant un tour autour de $0$.L’exemple illustre deux aspects importants du relèvement des chemins : tout d’abord, si $\gamma$ est un lacet, il n’y a pas de raison pour que son relevé reste fermé.

Cette étude est présentée dans l’article Soit $V_i$ la composante connexe de $p^{-1}(U_i)$ qui contient $F\left(z_0,t_{i-1}\right)$. On obtient donc un relevé bien défini sur $K\times I$.Le théorème de relèvement des homotopies permet de montrer des propriétés remarquables du morphisme $p_*$ induit par un revêtement $p$.Soit $p : (Y, y_0) \to (X, x_0)$ un revêtement pointé.Le théorème de relèvement des chemins et des homotopies permet d’étudier les premiers exemples non triviaux de groupe fondamentaux et de définir une action du groupe fondamental de la base sur la fibre du revêtement.

Gaël Meigniez, Prolongement des homotopies, 푄-variétés et cycles tangents, Ann.

M. Steinberger et J. \end{array} L'homotopie fournit des informations sur la nature Cette situation ne décrit pas encore exactement la situation représentée à droite.

Pour conclure la preuve d’existence dans le cas général, on applique le cas particulier précédent et on relève l’homotopie dans un voisinage de tout point de $K$.

Revêtements galoisiens et groupe de Galois d'un revêtement. Inst. p:& \mathbb C^*&\longrightarrow &\mathbb C^*\\ De plus, le relèvement g est alors unique. Ensuite, on voit que l’extrémité $\widetilde\gamma(1)$ du relevé de $\gamma$ ne change pas lorsque l’on remplace $\gamma$ par un lacet homotope (à extrémités fixées). Télécharger le document Créer des cartes mémoire S'identifier Les documents Classe d'homotopie d'un chemin d'un espace topologiqueClasse d'homotopie d'un chemin d'un espace topologiqueOn trouve notamment cette définition dans : L. Borel et P. Weiss, On trouve une approche plus complète qui permet de déterminer le Ce résultat est une conséquence du théorème de Borsuk-Ulam (

Par compacité de $I$, il existeet un voisinage $N(z_0)$ de $z_0$ tels que pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$, $f\left(N(z_0)\times[t_{i-1},t_{i}]\right)$ soit contenu dans un ouvert trivialisant du revêtement noté $U_i$.On construit alors successivement le relevé de $f$ sur $N(z_0)\times[t_{i-1},t_{i}]$ à partir de sa valeur sur $N(z_0)\times\{t_{i-1}\}$. Il est dit abélien si de plus le groupe est abélien. MR 1465793 [11] Bruce L. Reinhart , Foliated manifolds with bundle-like metrics , Ann. A titre d'exemple l'effet de parallaxe réalise un isotopie ambiante des vues en perspective d'objets. Soit donc $z_0\in K$. Un exemple célèbre est le Ce groupe est à l'origine de démonstrations. L'une des plus célèbres est celle du L'homotopie est l'un des outils essentiels de la topologie algébriqueOn peut citer encore la question du partage du collier et des deux voleurs : un collier ouvert, illustré à gauche, est formé de perles de deux couleurs différentes, avec un nombre pair de perles de chaque couleur. Un revêtement est dit galoisien (ou régulier ou normal) s'il est connexe par arcs et le groupe des automorphismes agit transitivement sur la fibre de chaque point. Fourier (Grenoble) 47 (1997), no. Cette notion topologique permet de définir des invariants algébriques utilisés pour classifier les applications continues entre espaces topologiques, dans le cadre de la topologie algébrique. of Math. Comme $F$ et $F'$ relèvent $f$, il vient$$F=p_y^{-1}\circ f \text{ et } F'=p_{y}^{-1}\circ f$$Par conséquent $F$ et $F'$ coïncident sur $W$, ce qui prouve que $A$ est ouvert.

Soit X un espace topologique. Alors il existe une unique application $F : K \times I \to Y$ relevant $f$ et prolongeant $ F_0$.$$\xymatrix{&& Y\ar[d]^{p} \\ K\times I \ar[rr]_f \ar[urr]^{F} && X. &z&\longmapsto&z^2 Sur l'illustration, les deux chemins γLes définitions précédentes se généralisent à deux fonctions continues Il est possible de généraliser la deuxième définition.

Ainsi, $A$ est non vide, ouvert et fermé. 3, 945–965 (French, with English and French summaries). }$$Soient $U$ un ouvert trivialisant du revêtement contenant $x$. Ce chemin est donc l’unique relevé du chemin $\gamma = p \circ \widetilde\gamma : I \to \mathbb C^*$ (qui est en fait le lacet $t \mapsto e^{2i\pi t}$) issu de $x = 1$. Donc $F=F'$.Passons maintenant à la preuve de l’existence d’un tel relèvement et commençons par prouver l’existence au voisinage de tout point de $K$. Choisir $y =1$ revient à choisir la détermination principale de la racine carrée sur un voisinage de $1$ : relever le chemin $\gamma$ revient à prolonger analytiquement cette détermination le long de $\gamma$.

Soit $W$ un ouvert de $K\times I$ contenant $(z,t)$ tel que $F(W)\subset V_y$ et $F'(W)\subset V_y$. West ont prouvé dans [7] qu'un fibré de Serre p:E → B entre CW-complexes a la propriété de relèvement des homotopies par rapport aux k-espaces.

On note $V_{y}$ la composante connexe de $p^{-1}(U)$ contenant $y$ et on considère l’homéomorphisme $p_y :V_y\to U$ induit par $p$.

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